{"id":218,"date":"2026-03-05T11:33:28","date_gmt":"2026-03-05T10:33:28","guid":{"rendered":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/?p=218"},"modified":"2026-03-05T16:36:01","modified_gmt":"2026-03-05T15:36:01","slug":"zadanie-21-matura-probna-matematyka-marzec-2026","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/zadanie-21-matura-probna-matematyka-marzec-2026\/","title":{"rendered":"Zadanie 21 \u2013 Matura pr\u00f3bna matematyka CKE (Marzec 2026)"},"content":{"rendered":"\n\n\n
\n \n <\/i> Wr\u00f3\u0107 do pe\u0142nego arkusza z marcem 2026\n <\/a>\n<\/div>\n\n
\n
\n \n

Tre\u015b\u0107 zadania<\/h2>\n
\n Dany jest trapez r\u00f3wnoramienny \\( ABCD \\) o podstawach \\( AB \\) i \\( CD \\), w kt\u00f3rym \\( |AB| = 2 \\cdot |CD| \\). Przek\u0105tna \\( AC \\) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej k\u0105ta \\( DAB \\). Wyka\u017c, \u017ce w tym trapezie miara k\u0105ta \\( DAB \\) jest r\u00f3wna \\( 60^\\circ \\).\n <\/div>\n\n

Rozwi\u0105zanie krok po kroku<\/h2>\n \n
\n \n <\/i> Zobacz podpowied\u017a\n <\/summary>\n
\n 1. Narysuj trapez i oznacz k\u0105t \\( |\\angle CAB| = \\alpha \\). Skoro \\( AC \\) to dwusieczna, k\u0105t \\( |\\angle DAC| \\) te\u017c ma miar\u0119 \\( \\alpha \\).
\n 2. Znajd\u017a k\u0105ty naprzemianleg\u0142e przy prostych r\u00f3wnoleg\u0142ych (podstawach trapezu). Pozwoli Ci to udowodni\u0107, \u017ce tr\u00f3jk\u0105t \\( ACD \\) jest r\u00f3wnoramienny i kr\u00f3tsza podstawa ma tak\u0105 sam\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107 jak ramiona trapezu.
\n 3. Poprowad\u017a wysoko\u015bci z wierzcho\u0142k\u00f3w \\( C \\) i \\( D \\) na d\u0142u\u017csz\u0105 podstaw\u0119, by utworzy\u0107 ma\u0142y tr\u00f3jk\u0105t prostok\u0105tny i wykorzysta\u0107 trygonometri\u0119.\n <\/div>\n <\/details>\n\n
\n \n <\/i> Sprawd\u017a pe\u0142ne rozwi\u0105zanie\n <\/summary>\n
\n \n

1. Szukamy zale\u017cno\u015bci k\u0105towych:<\/strong><\/p>\n Oznaczmy miar\u0119 k\u0105ta \\( |\\angle CAB| = \\alpha \\). Skoro przek\u0105tna \\( AC \\) to dwusieczna k\u0105ta \\( DAB \\), to dzieli go na p\u00f3\u0142. Wobec tego \\( |\\angle DAC| = \\alpha \\), a ca\u0142y interesuj\u0105cy nas k\u0105t \\( |\\angle DAB| = 2\\alpha \\).\n \n

2. K\u0105ty naprzemianleg\u0142e:<\/strong><\/p>\n Podstawy trapezu \\( AB \\) i \\( CD \\) s\u0105 r\u00f3wnoleg\u0142e, a przek\u0105tna \\( AC \\) to ich sieczna. Z w\u0142asno\u015bci k\u0105t\u00f3w naprzemianleg\u0142ych wiemy, \u017ce k\u0105t \\( |\\angle DCA| \\) jest r\u00f3wny k\u0105towi \\( |\\angle CAB| \\). Czyli \\( |\\angle DCA| = \\alpha \\).\n \n

3. Tr\u00f3jk\u0105t r\u00f3wnoramienny \\( ACD \\):<\/strong><\/p>\n Skoro w tr\u00f3jk\u0105cie \\( ACD \\) k\u0105ty przy podstawie \\( AC \\) s\u0105 takie same (\\( |\\angle DAC| = |\\angle DCA| = \\alpha \\)), to jest on tr\u00f3jk\u0105tem r\u00f3wnoramiennym. Wynika z tego, \u017ce rami\u0119 trapezu \\( AD \\) jest r\u00f3wne kr\u00f3tszej podstawie \\( CD \\). Zapiszmy:\n $$ |AD| = |CD| = a $$\n Poniewa\u017c trapez jest r\u00f3wnoramienny, drugie rami\u0119 \\( |BC| \\) r\u00f3wnie\u017c wynosi \\( a \\). Z tre\u015bci zadania wiemy te\u017c, \u017ce d\u0142u\u017csza podstawa to dwie kr\u00f3tsze, wi\u0119c \\( |AB| = 2a \\).\n\n

4. Opuszczamy wysoko\u015bci na d\u0142u\u017csz\u0105 podstaw\u0119:<\/strong><\/p>\n Poprowad\u017amy wysoko\u015bci z wierzcho\u0142k\u00f3w \\( C \\) i \\( D \\). Spodek wysoko\u015bci poprowadzonej z wierzcho\u0142ka \\( D \\) oznaczmy jako \\( E \\). W trapezie r\u00f3wnoramiennym odcinek odci\u0119ty przez wysoko\u015b\u0107 na d\u0142u\u017cszej podstawie (czyli odcinek \\( AE \\)) ma d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u00f3\u017cnicy obu podstaw podzielonej na dwa:\n $$ |AE| = \\frac{|AB| – |CD|}{2} = \\frac{2a – a}{2} = \\frac{a}{2} $$\n\n

5. Wykorzystujemy trygonometri\u0119:<\/strong><\/p>\n Sp\u00f3jrzmy teraz na powsta\u0142y ma\u0142y tr\u00f3jk\u0105t prostok\u0105tny \\( AED \\). Znamy w nim d\u0142ugo\u015b\u0107 przyprostok\u0105tnej przy k\u0105cie \\( A \\) (\\( |AE| = \\frac{a}{2} \\)) oraz przeciwprostok\u0105tn\u0105 (\\( |AD| = a \\)). Z definicji cosinusa:\n $$ \\cos(\\angle DAE) = \\frac{|AE|}{|AD|} = \\frac{\\frac{a}{2}}{a} = \\frac{1}{2} $$\n \n

6. Wniosek ko\u0144cowy:<\/strong><\/p>\n Jaki k\u0105t ostry ma cosinus r\u00f3wny \\( \\frac{1}{2} \\)? Oczywi\u015bcie \\( 60^\\circ \\). K\u0105t \\( DAE \\) to inaczej k\u0105t \\( DAB \\), wi\u0119c jego miara faktycznie wynosi \\( 60^\\circ \\).
\n Co nale\u017ca\u0142o dowie\u015b\u0107.<\/strong>\n \n <\/div>\n <\/details>\n\n <\/div>\n<\/div>\n\n

\n

Utkn\u0105\u0142e\u015b na zadaniach z planimetrii?<\/p>\n

Zosta\u0142o ma\u0142o czasu do maja, ale z nami na pewno to Za\u0142apiesz<\/strong>. Przer\u00f3bmy to razem na wirtualnej tablicy.<\/p>\n Zapisz si\u0119 na korepetycje<\/a>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Wr\u00f3\u0107 do pe\u0142nego arkusza z marcem 2026 Tre\u015b\u0107 zadania Dany jest trapez r\u00f3wnoramienny \\( ABCD \\) o podstawach \\( AB \\) i \\( CD \\), w kt\u00f3rym \\( |AB| = 2 \\cdot |CD| \\). Przek\u0105tna \\( AC \\) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej k\u0105ta \\( DAB \\). Wyka\u017c, \u017ce w tym trapezie miara k\u0105ta […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3,26],"tags":[],"class_list":["post-218","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matura-podstawowa","category-zadania"],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/218","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=218"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/218\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":261,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/218\/revisions\/261"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=218"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=218"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=218"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}