{"id":421,"date":"2026-05-05T14:18:18","date_gmt":"2026-05-05T13:18:18","guid":{"rendered":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/?p=421"},"modified":"2026-05-05T15:23:44","modified_gmt":"2026-05-05T14:23:44","slug":"zadanie-21-matura-matematyka-maj-2026","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/zadanie-21-matura-matematyka-maj-2026\/","title":{"rendered":"Zadanie 21 \u2013 Matura podstawowa matematyka CKE (Maj 2026)"},"content":{"rendered":"\n
\n \n <\/i> Wr\u00f3\u0107 do pe\u0142nego arkusza z maja 2026\n <\/a>\n<\/div>\n\n
\n
\n \n

Tre\u015b\u0107 zadania<\/h2>\n
\n Dany jest tr\u00f3jk\u0105t \\( KLM \\), w kt\u00f3rym \\( |KM| = a \\) oraz \\( |LM| = b \\). Dwusieczna k\u0105ta \\( LMK \\) przecina bok \\( KL \\) w punkcie \\( N \\) (zobacz rysunek). Wyka\u017c, \u017ce stosunek pola tr\u00f3jk\u0105ta \\( KNM \\) do pola tr\u00f3jk\u0105ta \\( NLM \\) jest r\u00f3wny \\( \\frac{a}{b} \\).\n <\/div>\n\n

Rozwi\u0105zanie krok po kroku<\/h2>\n \n
\n \n <\/i> Zobacz podpowied\u017a\n <\/summary>\n
\n 1. Przypomnij sobie alternatywny wz\u00f3r na pole tr\u00f3jk\u0105ta, w kt\u00f3rym wykorzystuje si\u0119 d\u0142ugo\u015bci dw\u00f3ch bok\u00f3w i sinus k\u0105ta mi\u0119dzy nimi: \\( P = \\frac{1}{2} \\cdot x \\cdot y \\cdot \\sin(\\alpha) \\).
\n 2. Skoro odcinek \\( MN \\) zawiera si\u0119 w dwusiecznej k\u0105ta \\( LMK \\), to dzieli ten wielki k\u0105t na dwie idealnie r\u00f3wne cz\u0119\u015bci.
\n 3. Zapisz wzory na pole obu tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w (\\( KNM \\) i \\( NLM \\)) u\u017cywaj\u0105c ich wsp\u00f3lnego boku \\( MN \\) oraz powtarzaj\u0105cego si\u0119 k\u0105ta, a nast\u0119pnie stw\u00f3rz z nich u\u0142amek (stosunek).\n <\/div>\n <\/details>\n\n
\n \n <\/i> Sprawd\u017a pe\u0142ne rozwi\u0105zanie\n <\/summary>\n
\n \n

1. Wykorzystanie w\u0142asno\u015bci dwusiecznej:<\/strong><\/p>\n Z tre\u015bci zadania wiemy, \u017ce odcinek \\( MN \\) jest dwusieczn\u0105 k\u0105ta przy wierzcho\u0142ku \\( M \\). Oznacza to, \u017ce dzieli on ten k\u0105t na dwie r\u00f3wne po\u0142owy. Wprowad\u017amy wi\u0119c oznaczenie:\n $$ |\\angle KMN| = |\\angle NML| = \\alpha $$\n \n

2. Pole tr\u00f3jk\u0105ta \\( KNM \\):<\/strong><\/p>\n Aby opisa\u0107 pole tego tr\u00f3jk\u0105ta, skorzystamy ze wzoru z sinusem. Bierzemy dwa boki tworz\u0105ce k\u0105t \\( \\alpha \\) (czyli bok \\( KM \\) o d\u0142ugo\u015bci \\( a \\) oraz wsp\u00f3lny bok \\( MN \\)):\n $$ P_{KNM} = \\frac{1}{2} \\cdot |KM| \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\alpha) = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\alpha) $$\n \n

3. Pole tr\u00f3jk\u0105ta \\( NLM \\):<\/strong><\/p>\n Dok\u0142adnie w ten sam spos\u00f3b opisujemy pole drugiego tr\u00f3jk\u0105ta. Bierzemy jego dwa boki tworz\u0105ce k\u0105t \\( \\alpha \\) (czyli bok \\( LM \\) o d\u0142ugo\u015bci \\( b \\) oraz wsp\u00f3lny bok \\( MN \\)):\n $$ P_{NLM} = \\frac{1}{2} \\cdot |LM| \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\alpha) = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\alpha) $$\n\n

4. Obliczenie stosunku p\u00f3l:<\/strong><\/p>\n Naszym celem jest wykazanie stosunku pola pierwszego tr\u00f3jk\u0105ta do pola drugiego. Zapiszmy to w postaci u\u0142amka, podstawiaj\u0105c wyznaczone wcze\u015bniej wzory:\n $$ \\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \\frac{\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\alpha)}{\\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\alpha)} $$\n\n

5. Wniosek ko\u0144cowy:<\/strong><\/p>\n Zauwa\u017camy, \u017ce w liczniku i mianowniku znajduje si\u0119 mn\u00f3stwo takich samych element\u00f3w. Mo\u017cemy wi\u0119c bez obaw skr\u00f3ci\u0107 u\u0142amek przez \\( \\frac{1}{2} \\), przez d\u0142ugo\u015b\u0107 boku \\( |MN| \\) oraz przez \\( \\sin(\\alpha) \\) (wiemy, \u017ce bok i k\u0105t tr\u00f3jk\u0105ta nie mog\u0105 by\u0107 zerowe). Po skr\u00f3ceniu otrzymujemy czysty wynik:\n $$ \\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \\frac{a}{b} $$\n Co nale\u017ca\u0142o dowie\u015b\u0107.<\/strong>\n \n <\/div>\n <\/details>\n\n <\/div>\n<\/div>\n\n

\n

Dowody geometryczne to dla Ciebie czarna magia?<\/p>\n

Zadania typu „wyka\u017c, \u017ce…” wcale nie musz\u0105 by\u0107 trudne, je\u015bli poznasz odpowiednie schematy na dwusieczne i pola. Z nami na pewno to Za\u0142apiesz<\/strong>.<\/p>\n Zapisz si\u0119 na korepetycje<\/a>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dany jest tr\u00f3jk\u0105t \ud835\udc3e\ud835\udc3f\ud835\udc40, w kt\u00f3rym |\ud835\udc3e\ud835\udc40| = \ud835\udc4e oraz |\ud835\udc3f\ud835\udc40| = \ud835\udc4f.
\nDwusieczna k\u0105ta \ud835\udc3f\ud835\udc40\ud835\udc3e przecina bok \ud835\udc3e\ud835\udc3f w punkcie \ud835\udc41 (zobacz rysunek).
\nWyka\u017c, \u017ce stosunek pola tr\u00f3jk\u0105ta \ud835\udc3e\ud835\udc41\ud835\udc40 do pola tr\u00f3jk\u0105ta \ud835\udc41\ud835\udc3f\ud835\udc40 jest r\u00f3wny \ud835\udc4e\/\ud835\udc4f.<\/p>\n

Zadanie 21 matura 2026 matematyka maj. Dow\u00f3d geometryczny.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":422,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[3,26],"tags":[32,35,36,34,37,31,39,33,38],"class_list":["post-421","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matura-podstawowa","category-zadania","tag-arkusze-cke-matematyka-2026","tag-cke-matematyka","tag-matura-2026-podstawowa","tag-matura-matematyka-przecieki","tag-odpowiedzi-do-matury","tag-odpowiedzi-matura-matematyka","tag-pewniaki-maturalne-matematyka","tag-rozwiazania-matura-z-matematyki","tag-zadania-maturalne-matematyka"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/zadanie-21-matura-matematyka-maj-2026.png","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/421","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=421"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/421\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":442,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/421\/revisions\/442"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/media\/422"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=421"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=421"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/zalapto.pl\/baza\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=421"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}