Funkcja kwadratowa to absolutny fundament matury podstawowej z matematyki. Arkusze CKE uwielbiaj\u0105 ten temat, a punkty za te zadania mo\u017cna zdoby\u0107 bardzo szybko, je\u015bli tylko znasz podstawowe wzory i schematy. <\/p>\n\n\n\n
Przygotowali\u015bmy dla Ciebie trzy typowe zadania maturalne z tego dzia\u0142u. Przerobimy je krok po kroku. Zaczynamy!<\/p>\n\n\n\n
Polecenie:<\/strong> Wyznacz wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne wierzcho\u0142ka paraboli b\u0119d\u0105cej wykresem funkcji kwadratowej okre\u015blonej wzorem \\(f(x) = -2x^2 + 4x + 6\\).<\/p>\n\n\n\n Rozwi\u0105zanie:<\/strong><\/p>\n\n\n\n Wierzcho\u0142ek paraboli zazwyczaj oznaczamy liter\u0105 \\(W\\), a jego wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne to \\((p, q)\\). Wzory na obie wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne znajdziesz w karcie wzor\u00f3w:<\/p>\n\n\n\n $$p = \\frac{-b}{2a}$$<\/p>\n\n\n\n $$q = \\frac{-\\Delta}{4a}$$<\/p>\n\n\n\n Najpierw wypisujemy wsp\u00f3\u0142czynniki z naszego wzoru funkcji:<\/p>\n\n\n\n \\(a = -2\\)<\/p>\n\n\n\n \\(b = 4\\)<\/p>\n\n\n\n \\(c = 6\\)<\/p>\n\n\n\n Liczymy pierwsz\u0105 wsp\u00f3\u0142rz\u0119dn\u0105 (\\(p\\)):<\/p>\n\n\n\n $$p = \\frac{-4}{2 \\cdot (-2)} = \\frac{-4}{-4} = 1$$<\/p>\n\n\n\n Aby policzy\u0107 \\(q\\), potrzebujemy Delty (\\(\\Delta\\)):<\/p>\n\n\n\n $$\\Delta = b^2 – 4ac$$<\/p>\n\n\n\n $$\\Delta = 4^2 – 4 \\cdot (-2) \\cdot 6 = 16 – (-48) = 16 + 48 = 64$$<\/p>\n\n\n\n Teraz podstawiamy Delt\u0119 do wzoru na \\(q\\):<\/p>\n\n\n\n $$q = \\frac{-64}{4 \\cdot (-2)} = \\frac{-64}{-8} = 8$$<\/p>\n\n\n\n Odpowied\u017a:<\/strong> Wierzcho\u0142ek tej paraboli znajduje si\u0119 w punkcie \\(W = (1, 8)\\).<\/p>\n\n\n\n Ma\u0142a wskaz\u00f3wka: Wsp\u00f3\u0142rz\u0119dn\u0105 <\/i>\\(q\\)<\/em> mo\u017cesz te\u017c policzy\u0107 du\u017co szybciej, po prostu podstawiaj\u0105c wyliczone \\(p\\) do wzoru funkcji:<\/em> \\(f(1) = -2 \\cdot 1^2 + 4 \\cdot 1 + 6 = 8\\)<\/p>\n\n\n\n Polecenie:<\/strong> Oblicz miejsca zerowe funkcji \\(f(x) = x^2 – 6x + 8\\).<\/p>\n\n\n\n Rozwi\u0105zanie:<\/strong><\/p>\n\n\n\n Miejsca zerowe to argumenty (\\(x\\)), dla kt\u00f3rych warto\u015b\u0107 funkcji (\\(y\\)) wynosi zero. Zapisujemy to jako r\u00f3wnanie:<\/p>\n\n\n\n $$x^2 – 6x + 8 = 0$$<\/p>\n\n\n\n Mamy tu klasyczne r\u00f3wnanie kwadratowe. Ponownie zaczynamy od wypisania wsp\u00f3\u0142czynnik\u00f3w:<\/p>\n\n\n\n \\(a = 1\\)<\/p>\n\n\n\n \\(b = -6\\)<\/p>\n\n\n\n \\(c = 8\\)<\/p>\n\n\n\n Liczymy wyr\u00f3\u017cnik, czyli popularn\u0105 Delt\u0119:<\/p>\n\n\n\n $$\\Delta = (-6)^2 – 4 \\cdot 1 \\cdot 8 = 36 – 32 = 4$$<\/p>\n\n\n\n Skoro \\(\\Delta > 0\\), funkcja ma dwa miejsca zerowe. Od razu wyci\u0105gamy pierwiastek z delty: \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).<\/p>\n\n\n\n Podstawiamy do wzor\u00f3w na \\(x_1\\) i \\(x_2\\):<\/p>\n\n\n\n $$x_1 = \\frac{-b – \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-(-6) – 2}{2 \\cdot 1} = \\frac{6 – 2}{2} = \\frac{4}{2} = 2$$<\/p>\n\n\n\n $$x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-(-6) + 2}{2 \\cdot 1} = \\frac{6 + 2}{2} = \\frac{8}{2} = 4$$<\/p>\n\n\n\n Odpowied\u017a:<\/strong> Miejsca zerowe tej funkcji to<\/span> \\(x = 2\\)<\/span> oraz \\(x = 4\\).<\/p>\n\n\n\n Polecenie:<\/strong> Rozwi\u0105\u017c nier\u00f3wno\u015b\u0107 \\(x^2 – 4x – 5 < 0\\).<\/p>\n\n\n\n Rozwi\u0105zanie:<\/strong><\/p>\n\n\n\n Nier\u00f3wno\u015bci kwadratowe rozwi\u0105zujemy niemal identycznie jak r\u00f3wnania, ale na ko\u0144cu musimy narysowa\u0107 pomocniczy szkic paraboli!<\/p>\n\n\n\n Zaczynamy od potraktowania tego jak zwyk\u0142ego r\u00f3wnania, \u017ceby znale\u017a\u0107 miejsca zerowe:<\/p>\n\n\n\n $$x^2 – 4x – 5 = 0$$<\/p>\n\n\n\n Wsp\u00f3\u0142czynniki: \\(a = 1\\), \\(b = -4\\)<\/span>, \\(c = -5\\).<\/p>\n\n\n\n $$\\Delta = (-4)^2 – 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$<\/p>\n\n\n\n $$\\sqrt{\\Delta} = 6$$<\/p>\n\n\n\n Liczymy pierwiastki:<\/p>\n\n\n\n $$x_1 = \\frac{4 – 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1$$<\/p>\n\n\n\n $$x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5$$<\/p>\n\n\n\n Mamy miejsca zerowe. Teraz czas na szkic paraboli<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n O\u015b X przecinamy w punktach \\(-1\\) oraz \\(5\\). Wsp\u00f3\u0142czynnik \\(a\\)<\/span> przy \\(x^2\\)<\/span> jest dodatni (\\(a=1\\))<\/span>, wi\u0119c ramiona paraboli skierowane s\u0105 w g\u00f3r\u0119<\/strong> (tzw. „u\u015bmiechni\u0119ta” parabola).<\/p>\n\n\n\n Nasza nier\u00f3wno\u015b\u0107 to \\(x^2 – 4x – 5 < 0\\), czyli szukamy warto\u015bci \u015bci\u015ble mniejszych od zera<\/strong> (pod osi\u0105 X). W\u0105sy paraboli schodz\u0105 pod o\u015b mi\u0119dzy liczb\u0105 \\(-1\\) a \\(5\\). Znak nier\u00f3wno\u015bci nie ma „r\u00f3wna si\u0119” (jest \\(<\\), a nie \\(\\le\\)), wi\u0119c nawiasy b\u0119d\u0105 otwarte.<\/p>\n\n\n\n Odpowied\u017a:<\/strong> Rozwi\u0105zaniem nier\u00f3wno\u015bci jest przedzia\u0142 <\/em>\\(x \\in (-1, 5)\\).<\/p>\n\n\n\n Funkcja kwadratowa to bardzo wdzi\u0119czny temat, bo opiera si\u0119 na powtarzalnych schematach. Je\u015bli pami\u0119tasz, jak policzy\u0107 delt\u0119 i narysowa\u0107 parabol\u0119, \u017cadne zadanie z tego dzia\u0142u Ci\u0119 nie zaskoczy!<\/p>\n\n\n\n Czujesz, \u017ce potrzebujesz wi\u0119cej praktyki? Chcesz przerobi\u0107 ten lub inny dzia\u0142 z do\u015bwiadczonym nauczycielem, kt\u00f3ry wyt\u0142umaczy Ci to prostym j\u0119zykiem? Wpadaj na nasze korepetycje online – z nami szybko za\u0142apiesz matematyk\u0119!<\/p>\n\n\n\n
\n\n\n\nZadanie 2: Miejsca zerowe funkcji<\/h3>\n\n\n\n
\n\n\n\nZadanie 3: Nier\u00f3wno\u015b\u0107 kwadratowa<\/h3>\n\n\n\n
\n\n\n\nPodsumowanie<\/h3>\n\n\n\n