Funkcja kwadratowa to absolutny fundament matury podstawowej z matematyki. Arkusze CKE uwielbiają ten temat, a punkty za te zadania można zdobyć bardzo szybko, jeśli tylko znasz podstawowe wzory i schematy.
Przygotowaliśmy dla Ciebie trzy typowe zadania maturalne z tego działu. Przerobimy je krok po kroku. Zaczynamy!
Zadanie 1: Współrzędne wierzchołka paraboli
Polecenie: Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x) = -2x^2 + 4x + 6\).
Rozwiązanie:
Wierzchołek paraboli zazwyczaj oznaczamy literą \(W\), a jego współrzędne to \((p, q)\). Wzory na obie współrzędne znajdziesz w karcie wzorów:
$$p = \frac{-b}{2a}$$
$$q = \frac{-\Delta}{4a}$$
Najpierw wypisujemy współczynniki z naszego wzoru funkcji:
\(a = -2\)
\(b = 4\)
\(c = 6\)
Liczymy pierwszą współrzędną (\(p\)):
$$p = \frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$$
Aby policzyć \(q\), potrzebujemy Delty (\(\Delta\)):
$$\Delta = b^2 – 4ac$$
$$\Delta = 4^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 6 = 16 – (-48) = 16 + 48 = 64$$
Teraz podstawiamy Deltę do wzoru na \(q\):
$$q = \frac{-64}{4 \cdot (-2)} = \frac{-64}{-8} = 8$$
Odpowiedź: Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie \(W = (1, 8)\).
Mała wskazówka: Współrzędną \(q\) możesz też policzyć dużo szybciej, po prostu podstawiając wyliczone \(p\) do wzoru funkcji: \(f(1) = -2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 + 6 = 8\)
Zadanie 2: Miejsca zerowe funkcji
Polecenie: Oblicz miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 – 6x + 8\).
Rozwiązanie:
Miejsca zerowe to argumenty (\(x\)), dla których wartość funkcji (\(y\)) wynosi zero. Zapisujemy to jako równanie:
$$x^2 – 6x + 8 = 0$$
Mamy tu klasyczne równanie kwadratowe. Ponownie zaczynamy od wypisania współczynników:
\(a = 1\)
\(b = -6\)
\(c = 8\)
Liczymy wyróżnik, czyli popularną Deltę:
$$\Delta = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 – 32 = 4$$
Skoro \(\Delta > 0\), funkcja ma dwa miejsca zerowe. Od razu wyciągamy pierwiastek z delty: \(\sqrt{\Delta} = 2\).
Podstawiamy do wzorów na \(x_1\) i \(x_2\):
$$x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) – 2}{2 \cdot 1} = \frac{6 – 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
Odpowiedź: Miejsca zerowe tej funkcji to \(x = 2\) oraz \(x = 4\).
Zadanie 3: Nierówność kwadratowa
Polecenie: Rozwiąż nierówność \(x^2 – 4x – 5 < 0\).
Rozwiązanie:
Nierówności kwadratowe rozwiązujemy niemal identycznie jak równania, ale na końcu musimy narysować pomocniczy szkic paraboli!
Zaczynamy od potraktowania tego jak zwykłego równania, żeby znaleźć miejsca zerowe:
$$x^2 – 4x – 5 = 0$$
Współczynniki: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\).
$$\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$
$$\sqrt{\Delta} = 6$$
Liczymy pierwiastki:
$$x_1 = \frac{4 – 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
$$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
Mamy miejsca zerowe. Teraz czas na szkic paraboli.
Oś X przecinamy w punktach \(-1\) oraz \(5\). Współczynnik \(a\) przy \(x^2\) jest dodatni (\(a=1\)), więc ramiona paraboli skierowane są w górę (tzw. „uśmiechnięta” parabola).
Nasza nierówność to \(x^2 – 4x – 5 < 0\), czyli szukamy wartości ściśle mniejszych od zera (pod osią X). Wąsy paraboli schodzą pod oś między liczbą \(-1\) a \(5\). Znak nierówności nie ma „równa się” (jest \(<\), a nie \(\le\)), więc nawiasy będą otwarte.
Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest przedział \(x \in (-1, 5)\).
Podsumowanie
Funkcja kwadratowa to bardzo wdzięczny temat, bo opiera się na powtarzalnych schematach. Jeśli pamiętasz, jak policzyć deltę i narysować parabolę, żadne zadanie z tego działu Cię nie zaskoczy!
Czujesz, że potrzebujesz więcej praktyki? Chcesz przerobić ten lub inny dział z doświadczonym nauczycielem, który wytłumaczy Ci to prostym językiem? Wpadaj na nasze korepetycje online – z nami szybko załapiesz matematykę!
