Treść zadania
Zadanie 11.1 (0-1)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Funkcja \( f \) jest rosnąca w przedziale \( [-4, -2] \). (Prawda / Fałsz)
2. Funkcja \( f \) jest malejąca w przedziale \( [1, 3] \). (Prawda / Fałsz)
Zobacz podpowiedź
2. Funkcja nie musi być w jednym kawałku, aby być malejąca. Jeśli dla \( x=1 \) wartość jest najwyższa, a z każdym kolejnym krokiem w prawo spada (nawet z „urwiska”), to funkcja jest malejąca.
Sprawdź pełne rozwiązanie
Analiza pierwszego stwierdzenia:
Zwróć uwagę na przedział domknięty \( [-4, -2] \). Oznacza to, że musimy sprawdzić zachowanie funkcji, włączając w to sam punkt \( x = -2 \). Z wykresu odczytujemy, że dla np. \( x = -3 \) wartość funkcji wynosi \( 2 \). Funkcja rośnie, zbliżając się do wartości \( 3 \), ale dla samego punktu \( x = -2 \) drastycznie „spada” i przyjmuje wartość \( 1 \) (zaczyna się drugi fragment wykresu, zaznaczony zamalowaną kropką). Ponieważ \( -3 < -2 \), ale \( f(-3) > f(-2) \), to na całym domkniętym przedziale funkcja psuje swoją monotoniczność i nie jest rosnąca.Pierwsze zdanie jest FAŁSZYWE (F).
Analiza drugiego stwierdzenia:
Badamy przedział domknięty \( [1, 3] \). Tutaj również mamy do czynienia z „przeskokiem” (nieciągłością) z drugiego na trzeci fragment wykresu. Dla \( x = 1 \) funkcja przyjmuje wartość \( 4 \) (zamalowana kropka na górze). Gdy tylko przesuniemy się minimalnie w prawo (np. dla \( x = 1,1 \)), wartość funkcji spada jak z klifu w okolice \( 2,8 \) i z każdym kolejnym krokiem w prawo konsekwentnie maleje, aż do wartości \( -1 \) dla \( x = 3 \). Zgodnie z definicją: funkcja maleje, gdy wraz ze wzrostem argumentów, wartości maleją. Ponieważ po osiągnięciu szczytu \( f(1) = 4 \) funkcja spada i dalej kontynuuje lot w dół, warunek ten jest spełniony. Brak ciągłości w ogóle w tym nie przeszkadza!Drugie zdanie jest PRAWDZIWE (P).
Odpowiedź: F, P
Zadanie 11.2 (0-2)
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach.
1. Największa wartość funkcji \( f \) jest równa ……..
2. Równanie \( f(x) = \sqrt{5} \) ma …….. rozwiązania.
Zobacz podpowiedź
2. Narysuj w wyobraźni (lub delikatnie ołówkiem na arkuszu) poziomą linię na wysokości \( y = \sqrt{5} \). Zastanów się, ile w przybliżeniu wynosi \( \sqrt{5} \). W ilu miejscach ta pozioma linia przetnie się z Twoim wykresem?
Sprawdź pełne rozwiązanie
1. Największa wartość funkcji:
Szukamy najwyższego punktu na wykresie. Widzimy, że wykres „kończy się” od góry zamalowaną kropką. Odczytujemy jej wartość na osi pionowej \( y \). Wynosi ona \( 4 \).Największa wartość to \( 4 \).
2. Liczba rozwiązań równania \( f(x) = \sqrt{5} \):
Rozwiązania równania to po prostu punkty przecięcia wykresu funkcji z prostą poziomą \( y = \sqrt{5} \).Aby wiedzieć, na jakiej wysokości narysować tę prostą, oszacujmy wartość \( \sqrt{5} \). Wiemy, że \( \sqrt{4} = 2 \), a \( \sqrt{9} = 3 \), więc \( \sqrt{5} \) to liczba nieco większa od 2 (dokładniej około 2,23).
Gdy poprowadzimy wzdłuż osi poziomej prostą na wysokości ok. 2,23, zauważymy, że przetnie ona wszystkie trzy „kreski” wykresu. Oznacza to, że równanie ma trzy rozwiązania.
Równanie ma 3 rozwiązania.
Odpowiedź: 1. 4, 2. 3
Zadanie 11.3 (0-2)
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach.
1. Dziedziną funkcji \( f \) jest przedział ……..
2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \( f(x) < 1 \) jest przedział ……..
Zobacz podpowiedź
2. Interesują Cię tylko te fragmenty wykresu, które leżą ściśle poniżej linii \( y = 1 \). Odczytaj, dla jakich iksów to się dzieje.
Sprawdź pełne rozwiązanie
1. Dziedzina funkcji:
Badamy wykres zrzutowany na poziomą oś \( x \).- Wykres zaczyna się zamalowaną kropką w punkcie \( x = -4 \). Zatem dziedzina zaczyna się od przedziału domkniętego.
- Pierwsza kreska kończy się na \( x = -2 \) (puste kółko), ale tuż pod nią, w punkcie \( (-2, 1) \) jest zamalowana kropka z drugiej kreski, więc funkcja w tym punkcie istnieje.
- Dalej funkcja ciągnie się do \( x = 1 \), gdzie znów jest zamalowane kółko.
- Trzecia kreska zaczyna się od \( x = 1 \) (puste kółko – nie szkodzi, bo przed chwilą ustaliliśmy, że dla jedynki funkcja już jest określona z poprzedniego przedziału) i kończy się zamalowaną kropką na \( x = 3 \).
Dziedzina to: \( \langle -4, 3 \rangle \).
2. Rozwiązanie nierówności \( f(x) < 1 \):
Szukamy takich argumentów \( x \), dla których wartości funkcji są mniejsze od \( 1 \) (czyli wykres znajduje się pod wysokością \( 1 \)).- Pierwsza kreska leży w całości nad lub na wysokości 1. Zaczyna się od kropki \( (-4, 1) \) i leci w górę. Zatem nie daje nam żadnych rozwiązań (bo my szukamy wartości mniejszych od 1, a nie równych).
- Druga kreska zaczyna się od zamalowanej kropki \( (-2, 1) \) i też leci w górę, więc znowu nic.
- Dopiero trzecia, najdłuższa kreska, w pewnym momencie przecina oś \( x \) i ląduje poniżej jedynki. Szukamy punktu przecięcia. Ze wzoru funkcji dla tego przedziału: \( -2x+5 = 1 \). Odejmujemy 5: \( -2x = -4 \). Dzielimy przez -2: \( x = 2 \).
Rozwiązaniem nierówności jest przedział: \( (2, 3 \rangle \).
Odpowiedź: 1. \( \langle -4, 3 \rangle \), 2. \( (2, 3 \rangle \)
Mała uwaga do zapisu przedziałów!
W arkuszach CKE (jak i w wielu nowoczesnych podręcznikach) przedział domknięty jest oznaczany nawiasami kwadratowymi, np. \( [1, 3] \). W szkole z pewnością często spotykacie się z nawiasami trójkątnymi, np. \( \langle 1, 3 \rangle \).
Nie dajcie się zmylić – to oznacza dokładnie to samo! Obydwa zapisy są poprawne, oznaczają, że liczby brzegowe należą do zbioru, i egzaminatorzy akceptują je na maturze zamiennie. W naszych rozwiązaniach używamy ich obu, żebyście przyzwyczaili oko.
Gubisz się przy odczytywaniu własności funkcji z wykresu?
Zostało mało czasu do maja, ale z nami na pewno to Załapiesz. Przeróbmy to razem krok po kroku.
Zapisz się na korepetycje