Wróć do pełnego arkusza z maja 2026

Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^{2}+21n$ jest podzielna przez 14.

Rozwiązanie krok po kroku

Zobacz podpowiedź
1. Wyciągnij wspólny czynnik przed nawias. W tym przypadku najłatwiej będzie wyłączyć $7n$.
2. Zauważ, że $14 = 7 \cdot 2$. Skoro w wyciągniętym czynniku masz już liczbę 7, wystarczy, że udowodnisz, iż pozostała część wyrażenia zawsze dzieli się przez 2.
3. Przeanalizuj parzystość czynników $n$ oraz $(n+3)$. Zastanów się, czy zawsze jeden z nich musi być liczbą parzystą.
Sprawdź pełne rozwiązanie

1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias:

Przekształćmy nasze wyrażenie, wyciągając przed nawias $7n$: $$ 7n^{2} + 21n = 7n(n + 3) $$

2. Rozkład na czynniki i warunek podzielności:

Aby liczba była podzielna przez 14, musi być jednocześnie podzielna przez 7 oraz przez 2. Z naszego zapisu wyraźnie widać, że liczba $7n(n+3)$ ma jako jeden z czynników siódemkę, więc na pewno dzieli się przez 7. Pozostaje nam udowodnić, że iloczyn $n(n+3)$ jest zawsze liczbą parzystą (podzielną przez 2) dla każdego całkowitego $n$.

3. Analiza parzystości (I sposób – rozpatrzenie przypadków):

Zbadajmy dwa możliwe warianty dla liczby całkowitej $n$:
  • Przypadek 1: Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to możemy ją zapisać jako $n=2k$ (gdzie $k$ jest całkowite). Wtedy iloczyn ma postać $2k(2k+3)$, co jest ewidentnie podzielne przez 2.
  • Przypadek 2: Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to możemy ją zapisać jako $n=2k+1$. Wtedy czynnik $(n+3)$ wynosi $(2k+1+3) = (2k+4) = 2(k+2)$. Skoro ten nawias zawiera w sobie dwójkę, to cały iloczyn również jest podzielny przez 2.

4. Wniosek końcowy:

Ponieważ dla każdego $n$ całkowitego liczby $n$ oraz $n+3$ mają różną parzystość (jedna z nich zawsze jest parzysta, a druga nieparzysta), ich iloczyn musi być liczbą parzystą.

Możemy więc zapisać $n(n+3) = 2m$ (gdzie $m$ to pewna liczba całkowita). Wracając do głównego równania: $$ 7 \cdot 2m = 14m $$ Otrzymana postać $14m$ bezsprzecznie dowodzi, że wyrażenie dzieli się przez 14 bez reszty.
Co należało dowieść.

Dowody algebraiczne spędzają Ci sen z powiek?

Zadania typu „wykaż, że…” wcale nie muszą być trudne, jeśli poznasz odpowiednie schematy. Z nami na pewno to Załapiesz.

Zapisz się na korepetycje