Wróć do pełnego arkusza z maja 2026

Treść zadania

Dany jest trójkąt \( KLM \), w którym \( |KM| = a \) oraz \( |LM| = b \). Dwusieczna kąta \( LMK \) przecina bok \( KL \) w punkcie \( N \) (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola trójkąta \( KNM \) do pola trójkąta \( NLM \) jest równy \( \frac{a}{b} \).

Rozwiązanie krok po kroku

Zobacz podpowiedź
1. Przypomnij sobie alternatywny wzór na pole trójkąta, w którym wykorzystuje się długości dwóch boków i sinus kąta między nimi: \( P = \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin(\alpha) \).
2. Skoro odcinek \( MN \) zawiera się w dwusiecznej kąta \( LMK \), to dzieli ten wielki kąt na dwie idealnie równe części.
3. Zapisz wzory na pole obu trójkątów (\( KNM \) i \( NLM \)) używając ich wspólnego boku \( MN \) oraz powtarzającego się kąta, a następnie stwórz z nich ułamek (stosunek).
Sprawdź pełne rozwiązanie

1. Wykorzystanie własności dwusiecznej:

Z treści zadania wiemy, że odcinek \( MN \) jest dwusieczną kąta przy wierzchołku \( M \). Oznacza to, że dzieli on ten kąt na dwie równe połowy. Wprowadźmy więc oznaczenie: $$ |\angle KMN| = |\angle NML| = \alpha $$

2. Pole trójkąta \( KNM \):

Aby opisać pole tego trójkąta, skorzystamy ze wzoru z sinusem. Bierzemy dwa boki tworzące kąt \( \alpha \) (czyli bok \( KM \) o długości \( a \) oraz wspólny bok \( MN \)): $$ P_{KNM} = \frac{1}{2} \cdot |KM| \cdot |MN| \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin(\alpha) $$

3. Pole trójkąta \( NLM \):

Dokładnie w ten sam sposób opisujemy pole drugiego trójkąta. Bierzemy jego dwa boki tworzące kąt \( \alpha \) (czyli bok \( LM \) o długości \( b \) oraz wspólny bok \( MN \)): $$ P_{NLM} = \frac{1}{2} \cdot |LM| \cdot |MN| \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin(\alpha) $$

4. Obliczenie stosunku pól:

Naszym celem jest wykazanie stosunku pola pierwszego trójkąta do pola drugiego. Zapiszmy to w postaci ułamka, podstawiając wyznaczone wcześniej wzory: $$ \frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin(\alpha)} $$

5. Wniosek końcowy:

Zauważamy, że w liczniku i mianowniku znajduje się mnóstwo takich samych elementów. Możemy więc bez obaw skrócić ułamek przez \( \frac{1}{2} \), przez długość boku \( |MN| \) oraz przez \( \sin(\alpha) \) (wiemy, że bok i kąt trójkąta nie mogą być zerowe). Po skróceniu otrzymujemy czysty wynik: $$ \frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{a}{b} $$ Co należało dowieść.

Dowody geometryczne to dla Ciebie czarna magia?

Zadania typu „wykaż, że…” wcale nie muszą być trudne, jeśli poznasz odpowiednie schematy na dwusieczne i pola. Z nami na pewno to Załapiesz.

Zapisz się na korepetycje