Interaktywny Trening Maturalny!

Funkcja kwadratowa zadania

Przed Tobą 3 typowe zadania z funkcji kwadratowej. Rozwiąż je na kartce, a następnie wpisz swój wynik w pole poniżej, aby system sprawdził Twoją odpowiedź. Jeśli utkniesz, kliknij w podpowiedź!

funkcja kwadratowa zadania - wykres paraboli

Zadanie 1: Klasyczne miejsca zerowe

Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej określonej wzorem:

$$ f(x) = x^2 – 5x + 6 $$
Potrzebuję podpowiedzi
Wypisz współczynniki \( a \), \( b \), \( c \) i skorzystaj z klasycznego wzoru na wyróżnik równania kwadratowego (deltę): $$ \Delta = b^2 – 4ac $$ Więcej o wymaganiach maturalnych w tym zakresie znajdziesz na oficjalnej stronie CKE.
Twoja odpowiedź:
x₁ =
x₂ =
Rozwiązanie krok po kroku:

1. Wypisujemy współczynniki:
\( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \)

2. Liczymy deltę:

$$ \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 $$ $$ \Delta = 25 – 24 = 1 $$

Ponieważ \( \Delta > 0 \), mamy dwa miejsca zerowe (\( \sqrt{\Delta} = 1 \)):

$$ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 – 1}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3 $$

Odpowiedź: Miejsca zerowe tej funkcji to \( x = 2 \) oraz \( x = 3 \).

Zadanie 2: Szukamy wierzchołka

Podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji:

$$ f(x) = -2x^2 + 8x – 3 $$
Potrzebuję podpowiedzi
Współrzędne wierzchołka paraboli oznaczamy jako \( W = (p, q) \).
Użyj wzoru na pierwszą współrzędną: \( p = \frac{-b}{2a} \). Następnie oblicz \( q \) podstawiając wynik do wzoru funkcji, czyli \( q = f(p) \).
Twoja odpowiedź:
W = ( , )
Rozwiązanie krok po kroku:

1. Wyznaczamy współrzędną \( p \):

$$ p = \frac{-8}{2 \cdot (-2)} = \frac{-8}{-4} = 2 $$

2. Wyznaczamy współrzędną \( q \):
Zamiast uczyć się na pamięć wzoru z deltą (\( \frac{-\Delta}{4a} \)), prościej jest podstawić wyliczone \( p \) do wzoru naszej funkcji:

$$ q = f(2) = -2 \cdot (2)^2 + 8 \cdot 2 – 3 $$ $$ q = -2 \cdot 4 + 16 – 3 $$ $$ q = -8 + 16 – 3 = 5 $$

Odpowiedź: Wierzchołek paraboli ma współrzędne \( W = (2, 5) \).

Zadanie 3: Nierówność kwadratowa

Rozwiąż nierówność:

$$ -x^2 + 4x + 5 \ge 0 $$
Potrzebuję podpowiedzi
1. Zamień nierówność na równanie i policz pierwiastki (\( x_1, x_2 \)).
2. Narysuj oś liczbową. Zastanów się, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli (spójrz na znak przy \( x^2 \)).
3. Odczytaj z wykresu, gdzie wartości są większe bądź równe zeru.
Twoja odpowiedź:
x ∈
Użyj nawiasów ostrych < > dla przedziałów domkniętych.
Rozwiązanie krok po kroku:

1. Wyznaczamy pierwiastki (miejsca zerowe):

$$ \Delta = 4^2 – 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 6 $$ $$ x_1 = \frac{-4 – 6}{-2} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1 $$

2. Szkicujemy wykres:
Współczynnik \( a = -1 \) (jest ujemny), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Miejsca zerowe to \( -1 \) i \( 5 \).

3. Odczytujemy rozwiązanie z osi:
Szukamy wartości większych bądź równych zero (\( \ge 0 \)), czyli wykresu znajdującego się nad osią OX (wraz z samymi miejscami zerowymi).

Odpowiedź: Rozwiązaniem nierówności jest przedział domknięty \( x \in \langle -1, 5 \rangle \).

Czujesz, że potrzebujesz więcej praktyki lub chcesz przerobić ten albo inny dział z doświadczonym nauczycielem, który wytłumaczy Ci to w zrozumiały sposób?
Wpadaj do nas i załap matematykę!

Zapisz się teraz