Wróć do pełnego arkusza z maja 2026

Treść zadania

Rozwiąż nierówność:
$$ 3x^2 + 4x \ge 6x + 8 $$
Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie krok po kroku

Zobacz podpowiedź
1. Przenieś wszystkie wyrażenia na lewą stronę, tak aby po prawej zostało tylko zero. Pamiętaj o zmianie znaków!
2. Zredukuj wyrazy podobne. Powstanie standardowa nierówność kwadratowa.
3. Oblicz deltę (\( \Delta \)) i wyznacz miejsca zerowe (\( x_1 \), \( x_2 \)).
4. Naszkicuj oś liczbową, zaznacz miejsca zerowe i narysuj parabolę (spójrz na znak przy \( x^2 \), żeby wiedzieć, czy ramiona idą w górę, czy w dół). Odczytaj rozwiązanie z wykresu.
Sprawdź pełne rozwiązanie

1. Uporządkowanie nierówności:

Zaczynamy od przeniesienia wszystkich wyrazów na jedną stronę (lewą), pamiętając o zmianie znaków na przeciwne: $$ 3x^2 + 4x – 6x – 8 \ge 0 $$ Po redukcji wyrazów podobnych (\( 4x – 6x \)) otrzymujemy postać ogólną nierówności: $$ 3x^2 – 2x – 8 \ge 0 $$

2. Obliczenie wyróżnika równania kwadratowego (Delty):

Wypisujemy współczynniki: \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -8 \). $$ \Delta = b^2 – 4ac $$ $$ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (-8) $$ $$ \Delta = 4 – (-96) = 4 + 96 = 100 $$ Skoro Delta jest dodatnia, równanie ma dwa miejsca zerowe. Pierwiastek z Delty to: $$ \sqrt{\Delta} = 10 $$

3. Wyznaczenie miejsc zerowych:

Obliczamy \( x_1 \) oraz \( x_2 \): $$ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) – 10}{2 \cdot 3} = \frac{2 – 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2 $$

4. Rysunek i odczytanie rozwiązania:

Współczynnik kierunkowy \( a = 3 \) (jest dodatni), więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe \( -\frac{4}{3} \) oraz \( 2 \).
Nierówność ma znak \( \ge \) (większe lub równe), co oznacza, że szukamy wartości nad osią X oraz na niej. Kółka na osi będą zamalowane, a przedziały domknięte.
Wykres nierówności kwadratowej - parabola i miejsca zerowe
Z wykresu odczytujemy przedziały: $$ x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup \left[2, \infty\right) $$

Odpowiedź: \( x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup \left[2, \infty\right) \)

Gubisz się w znakach przy nierównościach?

Kiedy domknąć nawias, a kiedy go otworzyć? Kółko zamalowane czy puste? W ZałapTo wytłumaczymy Ci to raz, a porządnie – bez wkuwania na pamięć.

Zapisz się na korepetycje