Treść zadania
Dany jest trapez równoramienny \( ABCD \) o podstawach \( AB \) i \( CD \), w którym \( |AB| = 2 \cdot |CD| \). Przekątna \( AC \) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta \( DAB \). Wykaż, że w tym trapezie miara kąta \( DAB \) jest równa \( 60^\circ \).
Rozwiązanie krok po kroku
Zobacz podpowiedź
1. Narysuj trapez i oznacz kąt \( |\angle CAB| = \alpha \). Skoro \( AC \) to dwusieczna, kąt \( |\angle DAC| \) też ma miarę \( \alpha \).
2. Znajdź kąty naprzemianległe przy prostych równoległych (podstawach trapezu). Pozwoli Ci to udowodnić, że trójkąt \( ACD \) jest równoramienny i krótsza podstawa ma taką samą długość jak ramiona trapezu.
3. Poprowadź wysokości z wierzchołków \( C \) i \( D \) na dłuższą podstawę, by utworzyć mały trójkąt prostokątny i wykorzystać trygonometrię.
2. Znajdź kąty naprzemianległe przy prostych równoległych (podstawach trapezu). Pozwoli Ci to udowodnić, że trójkąt \( ACD \) jest równoramienny i krótsza podstawa ma taką samą długość jak ramiona trapezu.
3. Poprowadź wysokości z wierzchołków \( C \) i \( D \) na dłuższą podstawę, by utworzyć mały trójkąt prostokątny i wykorzystać trygonometrię.
Sprawdź pełne rozwiązanie
1. Szukamy zależności kątowych:
Oznaczmy miarę kąta \( |\angle CAB| = \alpha \). Skoro przekątna \( AC \) to dwusieczna kąta \( DAB \), to dzieli go na pół. Wobec tego \( |\angle DAC| = \alpha \), a cały interesujący nas kąt \( |\angle DAB| = 2\alpha \).2. Kąty naprzemianległe:
Podstawy trapezu \( AB \) i \( CD \) są równoległe, a przekątna \( AC \) to ich sieczna. Z własności kątów naprzemianległych wiemy, że kąt \( |\angle DCA| \) jest równy kątowi \( |\angle CAB| \). Czyli \( |\angle DCA| = \alpha \).3. Trójkąt równoramienny \( ACD \):
Skoro w trójkącie \( ACD \) kąty przy podstawie \( AC \) są takie same (\( |\angle DAC| = |\angle DCA| = \alpha \)), to jest on trójkątem równoramiennym. Wynika z tego, że ramię trapezu \( AD \) jest równe krótszej podstawie \( CD \). Zapiszmy: $$ |AD| = |CD| = a $$ Ponieważ trapez jest równoramienny, drugie ramię \( |BC| \) również wynosi \( a \). Z treści zadania wiemy też, że dłuższa podstawa to dwie krótsze, więc \( |AB| = 2a \).4. Opuszczamy wysokości na dłuższą podstawę:
Poprowadźmy wysokości z wierzchołków \( C \) i \( D \). Spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka \( D \) oznaczmy jako \( E \). W trapezie równoramiennym odcinek odcięty przez wysokość na dłuższej podstawie (czyli odcinek \( AE \)) ma długość różnicy obu podstaw podzielonej na dwa: $$ |AE| = \frac{|AB| – |CD|}{2} = \frac{2a – a}{2} = \frac{a}{2} $$5. Wykorzystujemy trygonometrię:
Spójrzmy teraz na powstały mały trójkąt prostokątny \( AED \). Znamy w nim długość przyprostokątnej przy kącie \( A \) (\( |AE| = \frac{a}{2} \)) oraz przeciwprostokątną (\( |AD| = a \)). Z definicji cosinusa: $$ \cos(\angle DAE) = \frac{|AE|}{|AD|} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} $$6. Wniosek końcowy:
Jaki kąt ostry ma cosinus równy \( \frac{1}{2} \)? Oczywiście \( 60^\circ \). Kąt \( DAE \) to inaczej kąt \( DAB \), więc jego miara faktycznie wynosi \( 60^\circ \).Co należało dowieść.
Utknąłeś na zadaniach z planimetrii?
Zostało mało czasu do maja, ale z nami na pewno to Załapiesz. Przeróbmy to razem na wirtualnej tablicy.
Zapisz się na korepetycje