Wróć do pełnego arkusza z maja 2026

Treść zadania

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

1. Liczba naturalna \( 4^{12} \cdot 5^{24} \) jest podzielna przez 20. (Prawda / Fałsz)
2. Liczba naturalna \( 4^{12} \cdot 5^{24} \) jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. (Prawda / Fałsz)

Rozwiązanie krok po kroku

Zobacz podpowiedź
Zauważ, że potęgę \( 4^{12} \) możesz zapisać używając podstawy 2, czyli jako \( (2^2)^{12} \). Następnie skorzystaj z własności działań na potęgach – jeśli masz takie same wykładniki (\( 2^{24} \) i \( 5^{24} \)), możesz pomnożyć podstawy. Powstanie z tego wielokrotność liczby 10, co bardzo uprości sprawdzanie dzielników i liczenie cyfr!
Sprawdź pełne rozwiązanie

1. Przekształcenie wyrażenia:

Aby móc cokolwiek stwierdzić o tej ogromnej liczbie, musimy sprowadzić potęgi do wspólnego wykładnika. Zamieniamy czwórkę na dwójkę do kwadratu: $$ 4^{12} \cdot 5^{24} = (2^2)^{12} \cdot 5^{24} $$ Mnożymy wykładniki: $$ 2^{24} \cdot 5^{24} $$ Skoro wykładniki są takie same, możemy wciągnąć podstawy pod wspólną potęgę: $$ (2 \cdot 5)^{24} = 10^{24} $$

Analiza pierwszego stwierdzenia:

Sprawdzamy, czy liczba naturalna \( 10^{24} \) jest podzielna przez 20. Rozbijmy \( 10^{24} \) na prostsze czynniki: $$ 10^{24} = 10^2 \cdot 10^{22} = 100 \cdot 10^{22} $$ Ponieważ liczba 100 dzieli się na 20 bez reszty (\( 100 : 20 = 5 \)), to każda jej wielokrotność również jest podzielna przez 20.
Pierwsze zdanie jest PRAWDZIWE (P).

Analiza drugiego stwierdzenia:

Sprawdzamy, czy liczba naturalna \( 10^{24} \) w zapisie dziesiętnym jest liczbą 25-cyfrową. Liczba w postaci \( 10^n \) składa się zawsze z jednej cyfry \( 1 \) oraz z \( n \) zer. W naszym przypadku mamy potęgę 24, co oznacza \( 1 \) jedynkę i \( 24 \) zera. $$ 1 + 24 = 25 \text{ cyfr} $$ Drugie zdanie jest PRAWDZIWE (P).

Odpowiedź: P, P

Potęgi i pierwiastki spędzają Ci sen z powiek?

Zadania typu Prawda/Fałsz często bazują na jednym prostym wzorze. Z nami na pewno to Załapiesz i unikniesz głupich błędów.

Zapisz się na korepetycje