Treść zadania
Wykaż, że liczba \( 2501^4 – 2499^4 \) jest podzielna przez \( 10000 \).
Rozwiązanie krok po kroku
Zobacz podpowiedź
Absolutnie nie próbuj tego potęgować na kalkulatorze! Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \). Zastosuj ten wzór dwukrotnie, traktując \( 2501^4 \) jako \( (2501^2)^2 \).
Sprawdź pełne rozwiązanie
1. Pierwsze zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
Zapisujemy nasze wyrażenie początkowe i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
$$ 2501^4 – 2499^4 = (2501^2)^2 – (2499^2)^2 = (2501^2 – 2499^2)(2501^2 + 2499^2) $$
2. Drugie zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
Rozbijamy pierwszy nawias, korzystając z tego samego wzoru:
$$ = (2501 – 2499)(2501 + 2499)(2501^2 + 2499^2) $$
3. Wykonujemy dodawanie i odejmowanie w pierwszych nawiasach:
$$ = 2 \cdot 5000 \cdot (2501^2 + 2499^2) $$ $$ = 10000 \cdot (2501^2 + 2499^2) $$4. Komentarz (Wniosek):
Otrzymaliśmy iloczyn, w którym jednym z czynników jest liczba \( 10000 \), a drugi czynnik, czyli \( (2501^2 + 2499^2) \), jest sumą potęg liczb całkowitych, więc sam w sobie też jest liczbą całkowitą. Zatem cała nasza początkowa liczba dzieli się bez reszty przez 10000.Co należało dowieść.
Dowody algebraiczne to dla Ciebie czarna magia?
Zostało mało czasu do maja, ale z nami na pewno to Załapiesz. Przeróbmy to razem na wirtualnej tablicy.
Zapisz się na korepetycje