Treść zadania
Rozwiąż nierówność:
$$ (x-3)(x+5) > 9 $$
Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zobacz podpowiedź
Najczęstszym błędem jest przyrównywanie nawiasów do \( 9 \)! Najpierw wymnóż każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego. Przenieś \( 9 \) na lewą stronę, uporządkuj wyrażenie tak, by po prawej zostało tylko \( 0 \), a następnie policz deltę i pierwiastki.
Sprawdź pełne rozwiązanie
1. Przekształcamy nierówność do postaci ogólnej:
Wymnażamy nawiasy: $$ x^2 + 5x – 3x – 15 > 9 $$ Przenosimy \( 9 \) na lewą stronę (zmieniając znak) i redukujemy wyrazy podobne: $$ x^2 + 2x – 15 – 9 > 0 $$ $$ x^2 + 2x – 24 > 0 $$2. Wyznaczamy pierwiastki trójmianu (miejsca zerowe):
Liczymy deltę (\( \Delta = b^2 – 4ac \)): $$ \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 $$ $$ \sqrt{\Delta} = 10 $$ Teraz obliczamy miejsca zerowe (\( x_1 \) i \( x_2 \)):
$$ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 – 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $$
$$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$
3. Rysujemy szkic paraboli i odczytujemy wynik:
Współczynnik \( a = 1 \) (jest dodatni), więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Zaznaczamy na osi liczbowej nasze punkty \( -6 \) i \( 4 \).Znak nierówności to \( > \) (ostro większe), więc kółka na osi są niezamalowane, a interesują nas wartości powyżej osi \( x \).
Odpowiedź: \( x \in (-\infty, -6) \cup (4, \infty) \)
To pewniak maturalny za 2 punkty!
Nie trać punktów na prostych nierównościach. Zostało mało czasu do maja, ale z nami na pewno to Załapiesz.
Zapisz się na lekcję próbną