Wróć do pełnego arkusza z marcem 2026

Treść zadania

Rozwiązaniem układu równań:
$$ \begin{cases} 20x + 20y = 1 \\ 26x – 26y = 1 \end{cases} $$
jest para liczb: \( x = x_0 \), \( y = y_0 \). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

1. Suma \( x_0 + y_0 \) jest liczbą dodatnią. (Prawda / Fałsz)
2. Iloczyn \( x_0 \cdot y_0 \) jest liczbą dodatnią. (Prawda / Fałsz)

Rozwiązanie krok po kroku

Zobacz podpowiedź
Zauważ, że w pierwszym równaniu możesz wyciągnąć liczbę \( 20 \) przed nawias, a w drugim liczbę \( 26 \). To od razu da Ci wartość wyrażeń \( (x+y) \) oraz \( (x-y) \). Zamiast liczyć skomplikowane ułamki, oceń po prostu znaki.
Sprawdź pełne rozwiązanie

Analiza pierwszego stwierdzenia:

Weźmy pierwsze równanie i wyciągnijmy \( 20 \) przed nawias: $$ 20(x + y) = 1 $$ Gdy podzielimy równanie obustronnie przez 20, otrzymamy od razu sumę z pytania: $$ x + y = \frac{1}{20} $$ Liczba \( \frac{1}{20} \) jest większa od zera (dodatnia).
Pierwsze zdanie jest PRAWDZIWE (P).

Analiza drugiego stwierdzenia:

Wyciągnijmy przed nawias \( 26 \) w drugim równaniu: $$ 26(x – y) = 1 \quad \Longrightarrow \quad x – y = \frac{1}{26} $$ Mamy teraz bardzo prosty układ: $$ \begin{cases} x + y = \frac{1}{20} \\ x – y = \frac{1}{26} \end{cases} $$ Jeżeli dodamy oba równania stronami (metoda przeciwnych współczynników), to \( y \) nam się zredukują: $$ 2x = \frac{1}{20} + \frac{1}{26} $$ Dodając dwie liczby dodatnie, na pewno otrzymamy liczbę dodatnią. Zatem \( x \) jest na pewno liczbą dodatnią.
Teraz zastanówmy się nad znakiem \( y \). Skoro \( x+y=\frac{1}{20} \) oraz \( x-y=\frac{1}{26} \), to zauważmy, że \( \frac{1}{20} > \frac{1}{26} \). Zatem dodając \( y \) do \( x \) otrzymujemy wartość większą niż odejmując \( y \) od \( x \). Oznacza to, że \( y \) również musi być liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb dodatnich (\( x \cdot y \)) daje zawsze wynik dodatni.
Drugie zdanie jest PRAWDZIWE (P).

Odpowiedź: P, P

Gubisz się w układach równań?

Na maturze często liczy się spryt, a nie żmudne obliczenia. Do maja nauczymy Cię wszystkich maturalnych sztuczek.

Zapisz się na korepetycje